Matematiikka:Boolen algebra

Tällä käsitteellä ei ole otsikon muodostavia nimityksiä.

Boolen algebra (luo nimityssivu)

Määritelmä distributiivinen Matematiikka:hila, jossa jokaisella alkiolla on komplementti, jonka pienin alkio on $0$ ja suurin alkio $1$

Selite Boolen algebra kuvastaa sekä logiikan että joukko-opin olennaisia operaatioita (logiikassa disjunktio, konjunktio ja negaatio; joukko-opissa yhdiste, leikkaus ja komplementti).

Boolen algebra voidaan määritellä yhtäpitävästi myös struktuurina $S$, jonka muodostavat joukko $S$, kaksi binääristä operaatiot $\vee$ ja $\wedge$, unaarinen operaatio $\mathrm{\neg }$ sekä alkiot $0,1\in S$, jotka toteuttavat seuraavat ehdot kaikilla $a,b,c\in S$: \begin{enumerate}[(1)] \item (vaihdannaisuus) $a\vee b=b\vee a$ ja $a\wedge b=b\wedge a$; \item $a\vee a=a$ ja $a\wedge a=a$; \item $(a\vee b)\wedge a=a$ ja $(a\wedge b)\vee a=a$; \item $a\vee 0=a$ ja $a\wedge 1=a$; \item Jäsentäminen epäonnistui (Jäsennysvirhe): {\displaystyle a \vee (b \wedge c)=(a \vee b} \wedge (a \vee c)} ja Jäsentäminen epäonnistui (tuntematon funktio ”\vww”): {\displaystyle a \wedge (b \vee c)=(a \wedge b) \vww (a \wedge c)} ; \item $a\vee \mathrm{\neg }a=1$ ja $a\wedge \mathrm{\neg }a=0$. \end{enumerate} Näin määritellylle Boolen algebralle saadaan hilarakenne määrittelemällä Matematiikka:osittaisjärjestys $\le$ siten, että $a\le b$ jos $a=b\wedge a$ (tai ekvivalentisti jos $b=a\vee b$)

Yksinkertainen esimerkki Boolen algebrasta on struktuuri, jossa $S=\{0,1\}$ ja operaatiot on määritelty siten, että $0\vee 0=0\wedge 0=1\wedge 0=0\wedge 1=0$ ja $1\vee 0=0\vee 1=1\vee 1=1\wedge 1$, $\mathrm{\neg }0=1$ ja $\mathrm{\neg }1=0$. Tämä vastaa klassisen propositiologiikan totuusarvojen laskemista, kun operaattori $\vee$ tulkitaan loogiseksi operaatioksii "tai", operaattori $\wedge$ tulkitaan loogiseksi operaatioksi "ja" ja operaattori $\mathrm{\neg }$ tulkitaan loogikseksi operaatioksi "ei".

Klassinen esimerkki Boolen algebrasta on $⟨{𝒫}(S),\bigcup ,\bigcap ,\mathrm{\neg }\mathrm{\varnothing },S⟩$, missä ${𝒫}(S)$ on joukon $S$ Matematiikka:potenssijoukko (eli joukon $S$ kaikkien osajoukkojen joukko), $\bigcup$ on kahden joukon Matematiikka:yhdiste, $\bigcap$ on kahden joukon leikkaus, $\mathrm{\neg }$ on joukon komplementti, alkiona $0$ on tyhjä joukko ja alkiona $1$ on joukko $S$.

Erikieliset vastineet

boolean algebra (luo nimityssivu)

englanti (English)

Alaviitteet

Lähdeviittaus tähän sivuun:
Tieteen termipankki 6.12.2025: Matematiikka:Boolen algebra. (Tarkka osoite: https://tieteentermipankki.fi/wiki/Matematiikka:Boolen algebra.)

Siirry tarkastelemaan sivun muokkaushistoriaa →