Matematiikka:ketjumurtoluku

Tällä käsitteellä ei ole otsikon muodostavia nimityksiä.

ketjumurtoluku (luo nimityssivu)

Määritelmä lauseke muotoa\[ \alpha = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2+ \ldots

Erikieliset vastineet

continued fraction (luo nimityssivu)

englanti (English)

Alaviitteet

Lähdeviittaus tähän sivuun:
Tieteen termipankki 6.12.2025: Matematiikka:ketjumurtoluku. (Tarkka osoite: https://tieteentermipankki.fi/wiki/Matematiikka:ketjumurtoluku.)

Siirry tarkastelemaan sivun muokkaushistoriaa →

, \] missä luvut

$a_i$

ovat kokonaislukuja

|selite_fi=Ketjumurtoluku on lauseke muotoa\[ \alpha = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2+ \ldots }}. \]Tämä voidaan esittää lyhyemmin muodossa\[ \alpha = [a_0, a_1, a_2, \ldots]. \] Rationaaliluvun esitys ketjumurtolukuna voidaan etsiä Matematiikka:Eukleideen algoritmia käyttäen. Kirjoitetaan esimerkiksi $\frac{57}{25}$ ketjumurtolukuna. Eukleideen algoritmista saadaan:\begin{eqnarray*}57&=2 \cdot 25+7 \\25&=3 \cdot 7+4 \\7&=1 \cdot 4+3 \\4&=1 \cdot 3+1. \\ \end{eqnarray*}Ketjumurtoluku voidaan nyt muodostaa näiden avulla:\begin{eqnarray*}\frac{57}{25}&=2+\frac{7}{25}=2+\frac{1}{(\frac{25}{7})}\\&=2+\frac{1}{3+\frac{4}{7}}=2+\frac{1}{3+\frac{1}{(\frac{7}{4})}}\\&=2+\frac{1}{3+ \frac{1}{{1+\frac{3}{4}}} } =2+\frac{1}{3+ \frac{1}{{1+\frac{1}{(\frac{4}{3})}} }} \\&=2+\frac{1}{ 3+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{3}}} }. \end{eqnarray*}

Vastaavasti mielivaltaiselle reaaliluvulle $\alpha$ (joka voi siis olla myös irrationaalinen), saadaan ketjumurtolukuesitys seuraavasti. Olkoon $a_0$ luvun $\alpha$ kokonaisosa, eli $a_0=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}(\alpha )$.Merkitään ${\xi }_1=\alpha -a_0$. Nyt voidaan kirjoittaa${\displaystyle }$\alpha=a_0+\frac{1}{\xi_1^{-1}}.${\displaystyle }$Olkoon nyt $a_1=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}({\xi }_1^{-1})$ ja ${\xi }_2={\alpha }_1^{-1}-a_0.$ Nyt saadaan${\displaystyle }$\alpha=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{\xi_2^{-1}}}.${\displaystyle }$Jatkamalla tätä prosessia saadaan luvulle $\alpha$ (mahdollisesti ääretön) ketjumurtolukuesitys\[ \alpha = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2+ \ldots }}. \]Täsmällisemmin sanottuna esitys muodostetaan käyttäen seuraavaa algoritmia, jossa ${\alpha }_0=\alpha$:
1) asetetaan $a_i=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}({\alpha }_i)$;
2) jos ${\alpha }_i$ on kokonaisluku, $a_i={\alpha }_i$ ja algoritmin suoritus päättyy;
3) muussa tapauksessa asetetaan ${\alpha }_{i+1}=({\alpha }_i-a_i{)}^{-1}$ ja toistetaan kohta 1) luvulle $i+1$.

Ääretön ketjumurtoluku suppenee aina, ja sen arvo on irrationaaliluku. Jokainen irrationaaliluku voidaan esittää yksikäsitteisesti päättymättömänä ketjumurtolukuna. Irrationaaliluvun ketjumurtolukuesityksenon kuitenkin vaikeampaa kuin rationaaliluvun tapauksessa.}}