Matematiikka:ketjumurtoluku

Tällä käsitteellä ei ole otsikon muodostavia nimityksiä.

ketjumurtoluku (luo nimityssivu)

Määritelmä (fi)

lauseke muotoa $\alpha =a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\dots }},]$ missä luvut $a_i$ ovat kokonaislukuja

Selite (fi)

Ketjumurtoluku on lauseke muotoa $\alpha =a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\dots }}.$ Tämä voidaan esittää lyhyemmin muodossa $\alpha =[a_0,a_1,a_2,\dots ].]$ Rationaaliluvun esitys ketjumurtolukuna voidaan etsiä Matematiikka:Eukleideen algoritmia käyttäen. Kirjoitetaan esimerkiksi $\frac{57}{25}$ ketjumurtolukuna. Eukleideen algoritmista saadaan:\begin{eqnarray*}57&=2 \cdot 25+7 \\25&=3 \cdot 7+4 \\7&=1 \cdot 4+3 \\4&=1 \cdot 3+1. \\ \end{eqnarray*}Ketjumurtoluku voidaan nyt muodostaa näiden avulla:\begin{eqnarray*}\frac{57}{25}&=2+\frac{7}{25}=2+\frac{1}{(\frac{25}{7})}\\&=2+\frac{1}{3+\frac{4}{7

Erikieliset vastineet

continued fraction (luo nimityssivu)

englanti (English)

Alaviitteet

Lähdeviittaus tähän sivuun:
Tieteen termipankki 11.4.2026: Matematiikka:ketjumurtoluku. (Tarkka osoite: https://tieteentermipankki.fi/wiki/Matematiikka:ketjumurtoluku.)

Siirry tarkastelemaan sivun muokkaushistoriaa →

=2+\frac{1}{3+\frac{1}{(\frac{7}{4})}}\\&=2+\frac{1}{3+ \frac{1}{{1+\frac{3}{4}}} } =2+\frac{1}{3+ \frac{1}{{1+\frac{1}{(\frac{4}{3})}} }} \\&=2+\frac{1}{ 3+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{3}}} }. \end{eqnarray*}

Vastaavasti mielivaltaiselle reaaliluvulle

$\alpha$

(joka voi siis olla myös irrationaalinen), saadaan ketjumurtolukuesitys seuraavasti. Olkoon

$a_0$

luvun

$\alpha$

kokonaisosa, eli

$a_0=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}(\alpha )$

.Merkitään

${\xi }_1=\alpha -a_0$

. Nyt voidaan kirjoittaa

${\displaystyle }$

\alpha=a_0+\frac{1}{\xi_1^{-1}}.

${\displaystyle }$

Olkoon nyt

$a_1=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}({\xi }_1^{-1})$

ja

${\xi }_2={\alpha }_1^{-1}-a_0.$

Nyt saadaan

${\displaystyle }$

\alpha=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{\xi_2^{-1}}}.

${\displaystyle }$

Jatkamalla tätä prosessia saadaan luvulle

$\alpha$

(mahdollisesti ääretön) ketjumurtolukuesitys

$\alpha =a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\dots }}.$

Täsmällisemmin sanottuna esitys muodostetaan käyttäen seuraavaa algoritmia, jossa

${\alpha }_0=\alpha$

:
1) asetetaan

$a_i=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}({\alpha }_i)$

;
2) jos

${\alpha }_i$

on kokonaisluku,

$a_i={\alpha }_i$

ja algoritmin suoritus päättyy;
3) muussa tapauksessa asetetaan

${\alpha }_{i+1}=({\alpha }_i-a_i{)}^{-1}$

ja toistetaan kohta 1) luvulle

$i+1$

.

Ääretön ketjumurtoluku suppenee aina, ja sen arvo on irrationaaliluku. Jokainen irrationaaliluku voidaan esittää yksikäsitteisesti päättymättömänä ketjumurtolukuna. Irrationaaliluvun ketjumurtolukuesityksenon kuitenkin vaikeampaa kuin rationaaliluvun tapauksessa.}}