Matematiikka:Cauchyn integraalikaava

Tällä käsitteellä ei ole otsikon muodostavia nimityksiä.

Cauchyn integraalikaava (luo nimityssivu)

Määritelmä teoreema, joka kertoo, että jos $D\subseteq \mathbb{ℂ}$ on yhdesti yhtenäinen alue, funktio $f:D\to \mathbb{ℂ}$ on analyyttinen alueessa $D$, $\gamma$ on sellainen suljettu polku alueessa $D$, joka ei leikkaa itseään, ja $z_0$ on polun $\gamma$ sisään jäävä piste, niin \[ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z-z_0} dz, \]missä polku $\gamma$ kuljetaan vastapäivään

Selite Seuraavaa tulosta sanotaan Cauchyn integraalikaavaksi. Olkoon $D\subseteq \mathbb{ℂ}$ yhdesti yhtenäinen alue ja olkoon $f:D\to \mathbb{ℂ}$ analyyttinen alueessa $D$. Olkoon $\gamma$ sellainen suljettu polku alueessa $D$, joka ei leikkaa itseään ja olkoon $z_0$ polun $\gamma$ sisään jäävä piste. Silloin\[ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z-z_0} dz, \]missä polku $\gamma$ kuljetaan vastapäivään.

Yllä olevasta kaavasta seuraa, että funktiolla $f$ on kaikkien kertalukujen $n=1,2,\dots$ derivaatat pisteessä $z_0$ ja ne saadaan kaavasta\[ f^{(n)}(z_0)= \frac{n!}{2\pi i}\int_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1

Erikieliset vastineet

cauchy's integral formula (luo nimityssivu)

englanti (English)

Lähikäsitteet

• [[Teoreema|]] (yläkäsite)

Alaviitteet

Lähdeviittaus tähän sivuun:
Tieteen termipankki 6.12.2025: Matematiikka:Cauchyn integraalikaava. (Tarkka osoite: https://tieteentermipankki.fi/wiki/Matematiikka:Cauchyn integraalikaava.)

Siirry tarkastelemaan sivun muokkaushistoriaa →

dz, \]missä polku

$\gamma$

kuljetaan vastapäivään.}}