Matematiikka:Cauchyn integraalikaava

Tällä käsitteellä ei ole otsikon muodostavia nimityksiä.

Cauchyn integraalikaava (luo nimityssivu)

Määritelmä (fi)

teoreema, joka kertoo, että jos $D\subseteq \mathbb{ℂ}$ on yhdesti yhtenäinen alue, funktio $f:D\to \mathbb{ℂ}$ on analyyttinen alueessa $D$, $\gamma$ on sellainen suljettu polku alueessa $D$, joka ei leikkaa itseään, ja $z_0$ on polun $\gamma$ sisään jäävä piste, niin $f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(z)}{z-z_0}dz,$ missä polku $\gamma$ kuljetaan vastapäivään

Selite (fi)

Seuraavaa tulosta sanotaan Cauchyn integraalikaavaksi. Olkoon $D\subseteq \mathbb{ℂ}$ yhdesti yhtenäinen alue ja olkoon $f:D\to \mathbb{ℂ}$ analyyttinen alueessa $D$. Olkoon $\gamma$ sellainen suljettu polku alueessa $D$, joka ei leikkaa itseään ja olkoon $z_0$ polun $\gamma$ sisään jäävä piste. Silloin $f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(z)}{z-z_0}dz,$ missä polku $\gamma$ kuljetaan vastapäivään.

Yllä olevasta kaavasta seuraa, että funktiolla $f$ on kaikkien kertalukujen $n=1,2,\dots$ derivaatat pisteessä $z_0$ ja ne saadaan kaavasta $f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{n+1}}dz,$ missä polku $\gamma$ kuljetaan vastapäivään.

Erikieliset vastineet

cauchy's integral formula (luo nimityssivu)

englanti (English)

Lähikäsitteet

• [[Teoreema|]] (yläkäsite)

Alaviitteet

Lähdeviittaus tähän sivuun:
Tieteen termipankki 11.4.2026: Matematiikka:Cauchyn integraalikaava. (Tarkka osoite: https://tieteentermipankki.fi/wiki/Matematiikka:Cauchyn integraalikaava.)

Siirry tarkastelemaan sivun muokkaushistoriaa →