Matematiikka:mahtavuus

Tällä käsitteellä ei ole otsikon muodostavia nimityksiä.

mahtavuus (luo nimityssivu)

Määritelmä joukon alkioiden lukumäärä

Selite

Joukon mahtavuus on luku, joka kertoo joukon alkioiden lukumäärän. Kaksi joukkoa ovat yhtä mahtavat, jos niiden välillä on bijektio. Esimerkiksi joukon $A$ mahtavuus luonnollinen luku $n$, mikäli on olemassa bijektio joukon $A$ ja $n$-alkioisen joukon $\{0,1,\dots ,n-1\}$ välillä. Tällainen bijektio on nimittäin olemassa täsmälleen silloin, kun joukossa $A$ on $n$ alkiota. Äärellisen joukon mahtavuus on aina luonnollinen luku.

Kun sama mahtavuuden käsite yleistetään äärettömille joukoille, tulokset eivät ole enää yhtä itsestään selviä kuin äärellisten joukkojen tapauksessa. Esimerkiksi parillisten luonnollisten lukujen joukko on yhtä mahtava kuin kaikkien luonnollisten lukujen joukko vaikka on jälkimmäisen aito osajoukko.

Joukkoa, joka on yhtä mahtava luonnollisten lukujen joukon kanssa, sanotaan [[Matematiikka:numeroituvasti ääretön |numeroituvasti äärettömäksi]]. Sen mahtavuutta merkitään symbolilla ${\mathrm{\aleph }}_0$ ("alef-nolla"). Esimerkiksi rationaalilukujen joukon mahtavuus on $\mathrm{\aleph }-=$. Pienintä sitä suurempiaa mahtavuutta merkitään ${\mathrm{\aleph }}_1$ ("alef-yksi"). Reaalilukujen joukon mahtavuus on $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ (kaikkien luonnollisten lukujen joukon osajoukkojen lukumäärä) ja se on suurempi kuin ${\mathrm{\aleph }}_0$. Väitettä $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\mathrm{\aleph }}_1$ kutsutaan [[Matematiikka:kontinuumihypoteesi

|kontinuumihypoteesiksi]]. Se on osoitettu riippumattomaksi joukko-opin ZFC-aksioomista.

Joukon $A$ mahtavuuttamerkitään yleensä $|A|$, joskus myös $\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">card</mrow>}A$.

Erikieliset vastineet

cardinality (luo nimityssivu)

englanti (English)

Alaviitteet

Lähdeviittaus tähän sivuun:
Tieteen termipankki 6.12.2025: Matematiikka:mahtavuus. (Tarkka osoite: https://tieteentermipankki.fi/wiki/Matematiikka:mahtavuus.)

Siirry tarkastelemaan sivun muokkaushistoriaa →