Matematiikka:epästandardi analyysi
Tällä käsitteellä ei ole otsikon muodostavia nimityksiä.
| epästandardi analyysi (luo nimityssivu) |
Määritelmä
matematiikan ala, jolla analyysin tuloksia johdettaessa käytetään raja-arvojen sijasta infinitesimaaleja ja äärettömiä lukuja
Selite
Analyysin historian alkuvaiheissa sen käsitteitä saatettiin muotoilla infinitesimaalisia, eli äärettömän pieniä suureita käyttäen. Niiden merkityksestä ja loogisesta pätevyydestä kiisteltiin, ja lopulta ongelma ratkaistiin korvaamalla ne raja-arvon käsitteellä. Samankaltainen kehityskulku liittyi äärettömän suuren käsitteeseen. Raja-arvojen avulla muotoillussa teoriassa ei enää ollut esimerkiksi todellisen äärettömän käsitettä, vaan puhuttiin ennemmin siitä, että jokin suure kasvaa rajatta kuin että se olisi ääretön.
Abraham Robinsonin 1960-luvulla alulle panemassa epästandardissa analyysissä kuitenkin katsotaan, että infinitesimaaliset suureet olivat intuitiivisesti helposti ymmärrettäviä. Niiden välttämisen sijasta Robinson muotoili ne loogisesti täsmällisesti ja onnistui näin välttämään niihin alun perin liittyneen epämääräisyyden. Robinson laajensi reaaliluvut hyperreaaliluvuiksi, jotka sisältävät tavallisten reaalilukujen lisäksi infinitesimaalisen pieniä lukuja, jotka ovat lähempänä nollaa kuin mikään reaaliluku, ja äärettömän suuria lukuja, jotka ovat itseisarvoltaan suurempia kuin mikään reaaliluku. Hyperreaaliluvut ovat loogisesti yhtä aukoton järjestelmä kuin reaaliluvut. Itse asiassa hyperreaalilukujen järjestelmä on loogisesti konsistentti jos ja vain jos reaalilukujen järjestelmä on loogisesti konsistentti.
Abraham Robinsonin 1960-luvulla alulle panemassa epästandardissa analyysissä kuitenkin katsotaan, että infinitesimaaliset suureet olivat intuitiivisesti helposti ymmärrettäviä. Niiden välttämisen sijasta Robinson muotoili ne loogisesti täsmällisesti ja onnistui näin välttämään niihin alun perin liittyneen epämääräisyyden. Robinson laajensi reaaliluvut hyperreaaliluvuiksi, jotka sisältävät tavallisten reaalilukujen lisäksi infinitesimaalisen pieniä lukuja, jotka ovat lähempänä nollaa kuin mikään reaaliluku, ja äärettömän suuria lukuja, jotka ovat itseisarvoltaan suurempia kuin mikään reaaliluku. Hyperreaaliluvut ovat loogisesti yhtä aukoton järjestelmä kuin reaaliluvut. Itse asiassa hyperreaalilukujen järjestelmä on loogisesti konsistentti jos ja vain jos reaalilukujen järjestelmä on loogisesti konsistentti.
Alaviitteet
Lähdeviittaus tähän sivuun:
Tieteen termipankki 6.12.2025: Matematiikka:epästandardi analyysi. (Tarkka osoite: https://tieteentermipankki.fi/wiki/Matematiikka:epästandardi analyysi.)