Matematiikka:determinantti

Tällä käsitteellä ei ole otsikon muodostavia nimityksiä.

determinantti

Määritelmä (fi)

matriisista laskettava luku, joka kertoo esimerkiksi sen, onko matriisi kääntyvä

Selite (fi)

Matriisin determinantti on skalaari, joka kertoo matriisin ominaisuuksista. Reaalimatriisien tapauksessa determinantti on siis reaaliluku. Matriisin $A$ determinantille käytetään merkintää $det(A)$ tai $|A|$. Jos $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, jälkimmäinen merkintä tulee muotoon $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|.$ Tämän $2\times 2$-matriisin $A$ determinantti saadaan laskettua kaavasta $det(A)=ad-bc.$ Tässä tapauksessa determinantin itseisarvo kertoo vektorien $\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right)$ ja $\left(\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right)$ virittämän suunnikkaan pinta-alan.

Hieman suuremman, $3\times 3$-matriisin determinantti voidaan laskea kaavalla $\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|=a\times \left|\begin{array}{cc}e& f\\ h& i\end{array}\right|-b\times \left|\begin{array}{cc}d& f\\ g& i\end{array}\right|+c\times \left|\begin{array}{cc}d& e\\ g& h\end{array}\right|.$ Tässä tapauksessa determinantin itseisarvo kertoo vektorien $\left(\begin{array}{c}a\\ d\\ g\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}b\\ e\\ h\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}c\\ f\\ i\end{array}\right)$ virittämän suuntaissärmiön tilavuuden.

Yleisesti determinantti määritellään seuraavasti. Olkoon $A$ jokin $n\times n$ -matriisi. Merkitään${\displaystyle }$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}.${\displaystyle }$Jos $n=1$, niin $det(A)=a_{11}$. Jos taas $n>1$, niin${\displaystyle }$det(A)=\sum_{j=1}^n(-1)^{1+j}a_{ij}det(A_{1j}),${\displaystyle }$missä $A_{1j}$ on matriisi, joka on saatu matriisista $A$ poistamalla ensimmäinen rivi ja $j$:s sarake.

Jos matriisi esittää kaksiulotteista kuvausta, niin sen determinantti kertoo suhteen, jolla kuvaus muuttaa tason suunnikkaan pinta-alan. Determinantilla on myös monia muita hyödyllisiä ominaisuuksia. Tiedetään esimerkiksi, että matriisi on kääntyvä jos ja vain jos sen determinantti on erisuuri kuin $0$.

Erikieliset vastineet

determinant

englanti (English)

Alaviitteet

Lähdeviittaus tähän sivuun:
Tieteen termipankki 3.5.2026: Matematiikka:determinantti. (Tarkka osoite: https://tieteentermipankki.fi/wiki/Matematiikka:determinantti.)

Siirry tarkastelemaan sivun muokkaushistoriaa →