Matematiikka:Cardanon menetelmä

Tällä käsitteellä ei ole otsikon muodostavia nimityksiä.

Cardanon menetelmä (luo nimityssivu)

Määritelmä kolmannen asteen yhtälön ratkaisumenetelmä, jossa yhtälö muokataan erilaisilla sijoituksilla sellaiseksi, että sen voi ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla

Selite Cardanon kolmannen asteen yhtälön ratkaisumenetelmä on seuraava. Olkoon $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ ratkaistava kolmannen asteen yhtälö. Määritellään uusi muuttuja $y$ asettamalla $y=x+\frac{b}{3a}$. Silloin $x=y-\frac{b}{3a}$ ja yhtälöksi tulee\[ ay^3+ (c - \frac{b^2}{3a})y+ \frac{2b^3}{27a^2} - \frac{bc}{3a}+ d = 0. \]Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $y^3+py+q=0$ jakamalla se luvulla $a$ ja määrittelemällä $p$ ja $q$ sopivasti. Seuraavaksi määritellään kaksi uutta muuttujaa $u$ ja $v$, joille pätee $uv=\frac{p}{3}$ ja $y=u-v$. Yhtälöksi tulee tällöin $u^3-v^3+q=0$. Mutta koska $v=\frac{p}{3u}$, saadaan yhtälö $(u^3{)}^2+q{u}^3-\frac{p^3}{27}=0$, joka on toista astetta $u^3$:n suhteen. Tämä yhtälö voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla, jolloin löydetään $u^3$ ja siis myös $u$. Nyt löydetään $v$, koska $v=\frac{p}{3u}$. Sen jälkeen löydetään $y$, koska $y=u-v$. Lopulta löydetään $x$, koska $x=y-\frac{b}{3a}$.

Erikieliset vastineet

cardano's method (luo nimityssivu)

englanti (English)

Alaviitteet

Lähdeviittaus tähän sivuun:
Tieteen termipankki 6.12.2025: Matematiikka:Cardanon menetelmä. (Tarkka osoite: https://tieteentermipankki.fi/wiki/Matematiikka:Cardanon menetelmä.)

Siirry tarkastelemaan sivun muokkaushistoriaa →