Matematiikka:Cantorin joukko

Tällä käsitteellä ei ole otsikon muodostavia nimityksiä.

Cantorin joukko (luo nimityssivu)

Määritelmä joukko, joka saadaan poistamalla ensin janasta, jonka pituus on 1, keskimmäinen kolmannes, sitten poistamalla molemmista jäljellä olevista janoista keskimmäinen kolmannes, ja jatkamalla tätä menettelyä loputtomiin

Selite Poistetaan janasta, jonka pituus on 1, keskimmäinen kolmannes. Tämän jälkeen poistetaan keskimmäinen kolmannes molemmista jäljellä olevista janoista. Sitten poistetaan jälleen keskimmäinen kolmannes kaikista jäljellä olevista janoista. Joukkoa, joka saadaan jatkamalla tätä menettelyä loputtomiin, sanotaan Cantorin joukoksi.

Täsmällisemmin Cantorin joukko voidaan määritellä seuraavasti. Käytetään suljetusta välistä Jäsentäminen epäonnistui (Jäsennysvirhe): {\displaystyle \[0, \,1\]} merkintää $C_1$. Poistetaan joukosta $C_1$ keskimmäinen kolmannes eli väli $(1/3,2/3)$. Merkitään jäljelle jäävää joukkoa $C_2$:lla. Joukko $C_2$ koostuu kahdesta erillisestä suljetusta välistä. Poistetaan molemmista väleistä keskimmäinen kolmannes eli avoimet välit $(1/9,2/9)$ ja $(7/9,8/9)$. Merkitään jäljelle jäävää joukkoa $C_3$:lla. Jatketaan samalla tavalla. Cantorin joukko on joukko, joka saadaan jatkamalla tätä menettelyä ikuisesti. Cantorin joukko on siis joukko \[\cap_{i=1}^{\infty} C_{i}.\] Koska joukko $C_{i+1}$ on joukon $C_i$ osajoukko kaikilla indeksin i arvoilla, niin Cantorin joukkoa voidaan ajatella myös joukkona $C_{\mathrm{\infty }}$.

Cantorin joukko on ylinumeroituva joukko. Se on myös esimerkki täydellisestä joukosta, joka ei ole missään tiheä.

Erikieliset vastineet

cantor set (luo nimityssivu)

englanti (English)

Alaviitteet

Lähdeviittaus tähän sivuun:
Tieteen termipankki 6.12.2025: Matematiikka:Cantorin joukko. (Tarkka osoite: https://tieteentermipankki.fi/wiki/Matematiikka:Cantorin joukko.)

Siirry tarkastelemaan sivun muokkaushistoriaa →