Matematiikka:Bilineaarinen muoto

Tällä käsitteellä ei ole otsikon muodostavia nimityksiä.

bilineaarimuoto (luo nimityssivu)

Määritelmä kummankin muuttujan suhteen lineaarinen kahden muuttujan funktio joltakin vektoriavaruudelta kyseisen avaruuden skalaarikunnalle

Selite Olkoon $V$ vektoriavaruus, jonka skalaarikunta on $\mathbf{𝐅}$. Tällöin funktiota $F:V\times V\to \mathbf{𝐅}$ kutsutaan bilineaariseksi muodoksi, jos se on lineaarinen kummankin muuttujan suhteen erikseen. Toisin sanoen jos kiinnitetään kumpi tahansa muuttuja, niin tuloksena saadaan toisen muuttujan suhteen lineaarinen kuvaus. Täsmällisesti tämä ilmaistaan seuraavasti: \begin{itemize}\item $F(x+y,z)=F(x,z)+F(y,z)$ kaikilla $x,y,z\in V$; \item $F(\alpha x,y)=\alpha F(x,y)$ kaikilla $\alpha \in \mathbb{𝔽}$, $x,y\in V$; $F(x,y+z)=F(x,y)+F(x,z)$ kaikilla $x,y,z\in V$; \item $F(x,\alpha y)=\alpha F(x,y)$ kaikilla $\alpha \in \mathbb{𝔽}$, $x,y\in V$. \end{itemize}

Esimerkiksi Matematiikka:sisätulo on bilineaarimuoto.

Jos $v_1,\dots ,v_n$ on avaruuden $V$ kanta, niin bilineaariseen kuvaukseen $F$ voidaan liittää matriisi $A$ asettamalla $A_{ij}=F(v_i,v_j)$. Tällöin $F(x,y)$ voidaan laskea kaavalla\[ F (x,y) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m x_i y_j A_{ij} = x ^{T} Ay. \] Avaruudelle $V$ voidaan aina löytää sellainen kanta, että muodon $F$ matriisi on\[ \left(\begin{array}{cc}I_r & 0 \\0 & 0\end{array}\right), \]missä $I_r$ on $r\times r$-identiteettimatriisi.

Erikieliset vastineet

bilinear form (luo nimityssivu)

englanti (English)

Alaviitteet

Lähdeviittaus tähän sivuun:
Tieteen termipankki 6.12.2025: Matematiikka:Bilineaarinen muoto. (Tarkka osoite: https://tieteentermipankki.fi/wiki/Matematiikka:Bilineaarinen muoto.)

Siirry tarkastelemaan sivun muokkaushistoriaa →