Matematiikka:joukko

Tällä käsitteellä ei ole otsikon muodostavia nimityksiä.

joukko

Määritelmä kokoelma olioita

Selite Joukkoa, johon kuuluvat alkiot $a_1,\dots ,a_n$, merkitään $\{a_1,\dots a_n\}$. Luvut $1,2,3,4$ ja $5$ muodostavat joukon $\{1,2,3,4,5\}$.Luonnollisten lukujen joukko $\mathbb{\mathbb{N}}$ sisältää kaikki luonnolliset luvut, eli ${\displaystyle }$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}.${\displaystyle }$ Huomaa,että kaikki matemaatikot eivät pidä lukua $0$ luonnollisena lukuna, eli se jätetään joissakin esityksissä pois tästä joukosta. Joukko-opissa luku $0$ kuitenkin katsotaan luonnolliseksi luvuksi.

Teoreettisessa matematiikassa joudutaan tekemään ero joukon ja aidon luokan väliltä, jotta vältyttäisiin Russellin paradoksin osoittamalta ristiriidalta. Ideana on, että luokaksi lasketaan mikä tahansa kokoelma, mutta joukoksi vain sellaiset, jotka saadaan rakennettua lähtien tyhjästä joukosta soveltaen toistuvasti joukko-opin aksioomia (ZFC).Kaikkien joukkojen luokka (nk. Russelin luokka) $R$ ei voi olla joukko. Tämä nähdään seuraavasti:Oletetaan, että $R$ on joukko. Tällöin voidaan muodostaa joukon $R$ osajoukko $A=\{x\in R:\mathrm{\neg }x\in x\}$. Nyt pätee joko $A\in A$ tai $\mathrm{\neg }A\in A$. Todistamme, että kumpikin vaihtoehto johtaa ristiriitaan.Oletetaan $A\in A$. Tällöin $A$:n määritelmän nojalla $\mathrm{\neg }A\in A$, koska kaikki $A$:n alkiot täyttävät tämän ehdon. Siis $A\in A$ ja $\mathrm{\neg }A\in A$, mikä on ristiriita.Oletetaan $\mathrm{\neg }A\in A$. Tällöin $A$:n määritelmän nojalla $A$ kuuluu joukkoon $A$, eli $A\in A$, mikä on ristiriita.

Erikieliset vastineet

set

englanti (English)

Alaviitteet

Lähdeviittaus tähän sivuun:
Tieteen termipankki 5.12.2025: Matematiikka:joukko. (Tarkka osoite: https://tieteentermipankki.fi/wiki/Matematiikka:joukko.)

Siirry tarkastelemaan sivun muokkaushistoriaa →