Matematiikka:vektoriavaruus

Tällä käsitteellä ei ole otsikon muodostavia nimityksiä.

vektoriavaruus
lineaariavaruus (luo nimityssivu)

Määritelmä $F$-Matematiikka:moduli, jolla $F$ on Matematiikka:kunta

Selite

Koska moduli on vektoriavaruuden yleistys, voidaan vektoriavaruus määritellä myös ilman modulin käsitettä. Vektoriavaruus koostuu kunnasta $F$ (esimerkiksi $\mathbb{ℝ}$ tai $\mathbb{ℂ}$), jota nimitetään [[Matematiikka:skalaarikunta

|skalaarikunnaksi]] ja joukosta $V\ne \mathrm{\varnothing }$, jossa on määritelty yhteenlasku $+$ siten, että $(V,+)$ on Matematiikka:Abelin ryhmä ja skalaarikertolasku eli skalaarilla kertominen, joka liittää jokaiseen $\overline{v}\in V$ ja $\lambda \in F$ alkion $\lambda \overline{v}\in V$. Näiden laskutoimitusten edellytetään toteuttavan seuraavat ehdot kaikilla $\lambda ,\mu \in F$, $\overline{u},\overline{v}\in V$: \begin{itemize} \item $\lambda (\mu \overline{v})=(\lambda \mu )\overline{v}$; \item $(\lambda +\mu )\overline{v}=\lambda \overline{v}+\mu \overline{v}$; \item $1\overline{v}=\overline{v}$; \item $\lambda (\overline{v}+\overline{u})=\lambda \overline{v}+\lambda \overline{u}$. \end{itemize}

Vektoriavaruutta, jonka skalaarikunta on $F$, nimitetään $F$-vektoriavaruudeksi.

Olkoon ${\mathbb{ℝ}}^3=\{(x,y,z)|x,y,z\in \mathbb{ℝ}\}$. Tällöin ${\mathbb{ℝ}}^3$ on $\mathbb{ℝ}$-vektoriavaruus, kun määritellään yhteenlasku siten, että $(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$ ja skalaarikertolasku siten, että $\lambda (x,y,z)=(\lambda x,\lambda y,\lambda z)$. Koulumatematiikassa vektoriavaruutta ${\mathbb{ℝ}}^n$ merkitään usein joukkona$\{x\overline{i}+y\overline{j}+z\overline{k}\mid x,y,z\in \mathbb{ℝ}\},$ missä $\overline{i}$ on $x$-akselin suuntainen Matematiikka:yksikkövektori, $\overline{j}$ on $y$-akselin suuntainen yksikkövekori ja $\overline{k}$ on $z$-akselin suuntainen yksikkövektori. Kun tästä merkinnästä jätetään pois kirjaimet $\overline{i}$, $\overline{j}$ ja $\overline{k}$ ja merkitään sen sijaan kutakin vektoria sen pisteen koordinaateilla, jossa vektorin kärki on, jos vektori asetetaan alkamaan origosta, saadaan ylläoleva merkintätapa. Näin siis koulumatematiikan vektoria $x\overline{i}+y\overline{j}+z\overline{k}$ merkitään yksinkertaisesti lukukolmikolla $(x,y,z)$.

Erikieliset vastineet

vector space

englanti (English)

Alaviitteet

Lähdeviittaus tähän sivuun:
Tieteen termipankki 5.12.2025: Matematiikka:vektoriavaruus. (Tarkka osoite: https://tieteentermipankki.fi/wiki/Matematiikka:vektoriavaruus.)

Siirry tarkastelemaan sivun muokkaushistoriaa →