Fraunhoferin diffraktio


Fraunhoferin diffraktio

Selite Diffraktio tarkoittaa valon aaltoluonteesta johtuvaa valon taipumista sen kulkiessa esimerkiksi pienen aukon läpi.

Tähden kuva kaukoputkessa muodostuu sisäkkäisistä diffraktiorenkaista, jotka ovat sitä sauurempia mitä pienempi on objektiivin läpimitta. Diffraktio määrää teoreettisen ylärajan kaukoputken erotuskyvylle. Käytännössä ilmakehästä johtuva seeing rajoittaa erotuskykyä paljon enemmän kaukoputkilla, joiden objektiivin läpimitta on suurempi kuin noin 10-20 cm.

Allaoleva kuva esittää virheettömän objektiivin pistemäisestä kohteesta muodostamaa kuvaa. Alempana oleva käyrä kuvaa kirkkausjakaumaa pitkin ylemmän kuvan suoraa.

Suurin osa säteilyn energiasta keskittyy keskellä olevaan kirkkaaseen alueeseen, joka tunnetaan Airyn kiekkona G.B. Airyn mukaan. Sitä ympäröi sarja ulospäin mentäessä himmeneviä diffraktiorenkaita ja niiden välisiä tummempia alueita, joihin valoa ei osu juuri lainkaan.

Kaukoputken muodostama kuva lasketaan tavallisesti ns. Fraunhoferin diffraktiona (ks. aalto-optiikkaa käsittelevä artikkeli), joka kuitenkin sekin on vain likimääräinen teoria. Seuraava syventävä osa perustuu juuri Fraunhoferin diffraktioon. Täsmällisempi Fresnelin diffraktio johtaa sangen mutkikkaaseen matematiikkaan.

Diffraktio pyöreässä aukossa

Olkoon xy-tasossa pyöreä R-säteinen aukko, jonka läpi samanvaiheinen valo tulee negatiivisen z-akselin suunnasta (kuva). Tarkastellaan valonsäteitä, jotka lähtevät aukosta xz-tason suuntaisina ja muodostavat z-akselin kanssa kulman theta. Valoaallot interferoivat kaukana olevalla varjostimella. Pisteessä (x, y) aukon läpi tulevan aallon vaihe-ero varjostimella aukon keskeltä tulevaan aaltoon verrattuna saadaan säteiden matkaerosta s = x sin theta:

delta = (s/lambda) 2 pi = 2 pi x sin theta / lambda = kx.

Vaihe-ero delta riippuu siis vain pisteen x-koordinaatista. Pienestä pinta-alkiosta tulevan aallon amplitudien summa on verrannollinen alkion pinta-alaan dx dy. Olkoon aukon keskeltä tuleva amplitudi da₀ = dx dyi. Pisteestä (x, y) tuleva amplitudi on silloin

da = dx dy (cos delta i + sin delta j).

Lasketaan yhteen eri kohdista aukkoa tulevat amplitudit:

a = I_Aukko da =
I_{x= -R}^R I_{y= - (R²-x²)^1/2} ^{(R²-x²)^1/2} (cos kx i + sin kx j) dy dx
= 2 I_-R^R (R²-x²)^1/2 (cos kx i + sin kx j) dx.

Koska sini on pariton funktio (sin(-kx) = -sin(kx)), jälkimmäinen termi antaa integroitaessa nollan. Kosini on parillinen funktio, joten

a ~ I ₀^R (R² - x²)^1/2 cos kx dx.

Sijoittamalla x = Rtt ja merkitsemällä p = kR = (2 pi R sin theta)/lambda saadaan

a ~ I ₀¹ (1 - t²)^1/2 cos pt dt.

Varjostimella havaittavan intensiteetin nollakohdat saadaan amplitudin nollakohdista

J(p) = I ₀¹ (1 - t²)^1/2 cos pt dt = 0.

Funktiota J(p) tarkastelemalla nähdään, että sen pienin nollakohta on p = 3.8317 eli

2 pi R sin theta / lambda = 3.8317.

Diffraktioympyrän säde kulmamitoissa saadaan siten ehdosta

sin theta = 3.8317 / 2 pi R = 1.22 lambda / D,

missä D = 2R on aukon halkaisija.

Erikieliset vastineet

Airy disk	englanti (English)
Fraunhofer diffraction	englanti (English)
diffraction	englanti (English)

Käytetyt lähteet

Zubenelgenubi

Alaviitteet

Lähdeviittaus tähän sivuun:
Tieteen termipankki 5.11.2024: Tähtitiede:Fraunhoferin diffraktio. (Tarkka osoite: https://tieteentermipankki.fi/wiki/Tähtitiede:Fraunhoferin diffraktio.)

Siirry tarkastelemaan sivun muokkaushistoriaa →